対話式算数第74話:底辺比と面積比2

平面図形と比の2回目です。

先週の第1回目は、公式通りに解く問題中心でしたが、今回は底辺比と面積比を考えていく問題がテーマとなります。

一般の参考書では、相似を使わない平面図形と比の問題は、底辺比と面積比を使うことが多いですが、補助線をひいてまでして使うこともないと思っています。

第74話のような補助線をひかないで「底辺比と面積比が等しい」を使える問題はそれで解き、第73話のような補助線が必要な問題は、補助線をひかずに公式通りに解いていくことにしています。

「公式通りに面積を求める」と「底辺比と面積比が等しい」の2本柱として捉えています。

この方がすっきりして、早く深く身につくことは、スカイプ指導で実証しています。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

 

第74話:底辺比と面積比②の概要

 

74・1

頂点が同じ三角形は、高さが等しいので底辺比が面積比になります。

同頂点の三角形の面積比と呼ぶことにしています。

慣れるまでは、問題の図の向きを変えて、底辺を所定の位置になるようにして考えましょう。

先週の第73話の公式通りでも解けますので、公式通りに解いていくスタンスでも良いです。

第73話では台形は公式通りに解きましたが、今回は、底辺比と面積比は等しいことを利用して扱っています。

 

74・2

1つの図形の中に複数の同頂点の三角形がある問題を学習します。

どこを底辺にするか、またはどこを頂点にするかを考えることがポイントです。

同頂点の三角形が複数あると見えにくいので、図を分けてかいたり、色を使って解くと早く身につくと思います。

分数でポンポン求めていくことも可能ですが、1つの三角形が4つの三角形で区切られているとしたら、その4つの面積比を書き入れるようにした方が理解が深まると思います。

その場合は、小さい方から考えていくことがポイントです。

 

74・3

2辺をかけたら面積比になるという問題です。

その2辺はそれぞれ同じ直線上だったり、平行だったりすれば、底辺と高さのつもりで、2辺をかけたら面積の比になります。

 

74・4

かどの三角形の割合と呼んでいますが(予習シリーズもまったく同じフレーズでした)、2辺の比をかけて、全体の何分のいくつかを求める解き方です。

全体の三角形は使う2辺を変えると、面積が変わりますので、かどの三角形の面積を求めるごとに、全体も求め、全体に対しての割合を考えます。

 

74・5

四角形に2本の対角線をひき、面積比とその対角線の線分の比は同じになる問題です。

自発的には使いこなしにくい解法の1つです。

自発的に使おうという意識で身につけましょう。

 

練習問題

 

番号 講評
1 A 底辺比から面積比を求めて、連比にします。
2 A 1番の類題です。
3 B 1・2番の類題ですが、三角形が4つになります。分かりやすい順序で考えていくようにします。
4 B 面積比と底辺比をミックスして、3つの三角形の面積比を求めます。
5 C 4番の類題ですが、少しレベルが上がっています。
6 C 実際の面積を比のように扱って、実際の面積を書き入れていきます。AD=10㎝を後回しにすることがポイントです。
7 A 2辺をかければ求められます。覚える算数にならないように、底辺と高さをかけていると意識しましょう。
8 A 中の三角形の辺がどこも1めもりなので、深く理解しなくてもできますが、連比を使っていることを意識しましょう。
9 B 中の三角形の辺を同じ長さにしないと簡単にはできません。比をそろえて、中の三角形の1辺を2にします。
10 A かどの三角形の割合です。かどの三角形を分数で求めたら、整数比に直しましょう。
11 A 2つの角の三角形の割合を求め、全体からひきます。
12 A 3つの角の三角形の割合を求め、全体からひきます。
13 A 底辺比と面積比を使ってもできますし、2辺をかけてもできます。
14 B 対角線ACをひいて、それぞれの区分に面積を書き入れていきます。面積比→底辺比→面積比と考えていきます。
15 C 三角形BCDを求められます。面積比から、AO:OCかBO:ODのいずれかを求めます。

「難」は難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

※「要」は重要度で以下の基準です(B・C・Dのみ表記)。
ゼ:絶対に解けるようにしたい重要な問題
テ:よく出る典型題
ヒ:捻りのある問題
サ:地道な作業が必要な問題