対話式算数第74話:底辺比と面積比(2)

平面図形と比の2回目です。

タイトルは「底辺比と面積比②」にしていますが、今回は公式通りに面積を求められる問題オンリーにしています。

一般の参考書では、相似を使わない平面図形と比の問題は、底辺比と面積比を使うことが多いですが、補助線をひいてまでして、使うこともないと思っています。

第73話のような補助線をひかないで「底辺比と面積比が等しい」を使える問題は使い、補助線が必要な問題は、補助線をひかずに公式通りに解いていくことにしています。

「底辺比と面積比が等しい」と「公式通りに面積を求める」の2本柱として捉えています。

この方がすっきりして、早く深く身につくことは、スカイプ指導で実証しています。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小5対話式算数

 

第74話:底辺比と面積比②の概要

 

74・1

台形や平行四辺形は高さを2にすることがポイントです。

たいした技ではないので企業秘密と言うほどではありませんが、そのように教えてから、見違えるように生徒さん達の正解率が上がりました。

 

74・2

2辺をかけたら面積比になるという問題です。

その2辺はそれぞれ同じ直線上だったり、平行だったりすれば、底辺と高さのつもりで、2辺をかけたら面積の比になります。

 

74・3

かどの三角形の割合と呼んでいますが(予習シリーズもまったく同じフレーズでした)、2辺の比をかけて、全体の何分のいくつかを求める解き方です。

全体の三角形は使う2辺を変えると、面積が変わりますので、かどの三角形の面積を求めるごとに、全体も求め、全体に対しての割合を考えます。

 

74・4

正方形や長方形やひし形や台形で、公式通りに面積を求めていく問題です。

平行四辺形などのように向かい合う辺の長さが等しい場合は、それを考慮して底辺や高さを決めます。

比をそろえることさえやれば、単純に公式通りに解けるので、簡単だと思います。

 

74・5

等しい面積に区切る問題です。

2019年版までは「底辺比と面積比は等しい」を使って、「1:1」「1:2」「1:3」「1:4」を書き入れていく解き方でしたが、公式通りに解くスタイルに変更しました。

解説を書いた限りでは、慣れればこちらの方が正答率が上がると思いました。

 

練習問題

問題番号 講評
1 A 高さを2にしましょう。
2 底辺を3、高さを2にしましょう。
3 高さを2にして、㋐と㋑の面積を求めましょう。
4 高さを2にして、AとBとCの面積を求めましょう。
5 ㋒の上底や下底の長さは、全体の面積から、全体の底辺を使って求めましょう。慣れていないと、案外、難しいです。
6 2辺をかけます。
7 底辺比と面積比を使ってもできますし、2辺をかけてもできます。
8 中の三角形の辺がどこも1めもりなので、深く理解しなくてもできますが、連比を使っていることを意識しましょう。
9 中の三角形の辺を同じ長さにしないと簡単にはできません。比をそろえて、中の三角形の1辺を2にします。
10 かどの三角形の割合です。かどの三角形を分数で求めたら、整数比に直しましょう。
11 2つの角の三角形の割合を求め、全体からひきます。
12 3つの角の三角形の割合を求め、全体からひきます。
13 Pと全体を公式通りに求めたら、Qも分かります。
14 正方形の横の長さを決めます。正方形とはいえ、縦と横が等しくなくてもできますので、縦は2にします。
15 計算しやすいように、上底と下底の長さを決めましょう。
16 底辺と高さを決め、全体の平行四辺形とかどの3つの三角形の面積を公式通りに求めます。上で出てきた「かどの三角形の割合」を考えてもできますが、公式通りに求めた方が簡単だと思います。
17 底辺と高さを決めて、公式通りに、全体の平行四辺形と、4つの三角形を求めます。
18 面積を使って逆算で底辺を求めます。その底辺を使って公式通りに面積を求めます。
19 「面積÷底辺」と「面積÷高さ」を交互に計算して、高さと底辺を交互に求めます。
20 19番の類題です。BDとEFをそれぞれ、1辺の何分のいくつかを求めると、比が分かり求めやすいと思います。

※難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

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