問題
Aを1個、Bを2個、Cを6個使って、文字を横1列に並べます。
左から読んだときの並び方と、右から読んだときの並び方が同じになるような並べ方は何通りありますか。
まず、この問題で大切なこと
この問題は、いきなり計算式で解こうとすると、難しくて解けないでしょう。
文字の並べ方の問題を見ると、
「全部で9個だから、並べ方の計算をするのかな？」
と思うかもしれません。
でも、この問題で聞かれているのは、ただの並べ方ではありません。
左から読んでも、右から読んでも同じになる並べ方です。
たとえば、
BCCCACCCB
という並び方は、左から読んでも右から読んでも同じです。
このような並び方は、左右対称になっています。
つまり、この問題では、
左右対称になるように、どこに何を置くか
を考えることが大切です。
いきなり解けないときは、1つ作ってみる
この問題で一番大切な初動は、頭の中だけで悩まないことです。
思いつかなければ、適当に1つ作ってみます。
たとえば、
BCCCACCCB
と作ってみます。
すると、いくつかのことに気づきやすくなります。
まず、文字は全部で9個あります。
9個の文字を左右対称に並べると、真ん中が1か所あります。
□ □ □ □ ■ □ □ □ □
左右対称では、真ん中以外の文字は、左と右でペアになります。
1番目と9番目
2番目と8番目
3番目と7番目
4番目と6番目
5番目が真ん中このように、真ん中以外はすべて2個ずつ必要になります。
Aは1個しかないから、真ん中に決まる
ここで、使える文字の個数を見ます。
Aは1個
Bは2個
Cは6個
Aは1個しかありません。
左右対称の並べ方では、真ん中以外に置いた文字は、必ず反対側にも同じ文字が必要になります。
たとえば、Aを左から2番目に置いたら、右から2番目にもAが必要です。
でも、Aは1個しかありません。
だから、Aを真ん中以外に置くことはできません。
つまり、
Aは真ん中に決まります。
□ □ □ □ A □ □ □ □
□
ここまで決まれば、問題はかなりやさしくなります。
左半分だけ決めればよい
Aを真ん中に置いたので、残りは左右に4個ずつです。
左右対称にするためには、左側の4個を決めれば、右側の4個は自動的に決まります。
たとえば、左側を
B C C C
と決めると、右側は反対向きに
C C C B
となります。
B C C C A C C C B
B
つまり、この問題では、
左側4個に何を置くか
だけを考えればよいのです。
Bは2個だから、左側に1個だけ置く
次に、Bについて考えます。
Bは全部で2個あります。
左右対称に並べるので、Bを置くなら、左側に1個、右側の対称な位置に1個置くことになります。
つまり、左側4個の中には、Bが1個入ります。
残りの3個はCです。
左側4個：Bが1個、Cが3個
Cは6個ありますが、左右対称にすれば、左側に3個、右側に3個置かれるので、自然に使い切れます。
だから、この問題では、Cについて考える必要はありません。
Bの位置だけ決めれば、Cは残りに入るからです。
あとは、左側4個のどこにBを置くか
左側4個のうち、Bを置く場所を考えます。
□ □ □ □ A □ □ □ □
左側4個の中で、Bを置ける場所は4か所あります。
1つ目にBを置く
B C C C A C C C B
2つ目にBを置く
C B C C A C C B C
3つ目にBを置く
C C B C A C B C C
4つ目にBを置く
C C C B A B C C C
この4通りです。
したがって、答えは4通りです。
この問題で身につけたい考え方
この問題で大切なのは、答えの4通りを覚えることではありません。
大切なのは、次のように考えることです。
1. 計算で押し切る問題ではないと感じる
この問題は、普通の並べ方の計算ではありません。
「左から読んでも右から読んでも同じ」という条件があるので、まずは左右対称を考えます。
計算で一気に処理しようとせず、
これは地道に地道に数えた方がよさそうだ
と判断することが大切です。
2. 思いつかなければ、1つ作ってみる
最初からきれいな解き方を思いつかなくてもかまいません。
たとえば、
BCCCACCCB
のように、1つ作ってみます。
実際に作ってみると、
「Aは真ん中じゃないと無理だ」
「左側だけ決めれば、右側は決まる」
「Bの場所だけ考えればよい」
ということに気づきやすくなります。
算数では、頭の中だけで考えるより、書いたものを見て考える方が、次の一手が見えやすくなります。
3. 奇数個の文字に注目する
左右対称の並び方では、真ん中以外の文字は2個ずつ使われます。
だから、1個、3個、5個のように奇数個ある文字は、真ん中と関係しやすくなります。
この問題では、Aが1個です。
だから、
Aは真ん中に決まる
と考えます。
これは、この問題の最初の大きな決め手です。
4. 考えなくてよいものを見分ける
この問題では、Cが6個もあります。
でも、Cをどこに置くかを一つひとつ考える必要はありません。
なぜなら、Aの位置が決まり、Bの位置が決まれば、残りはすべてCになるからです。
つまり、
Cは考えなくてよい
と判断できます。
算数では、出てきたもの、すべてを考えるとは限りません。
何を考えるか。
何は考えなくてよいか。
この見分けができると、問題がかなり解きやすくなります。
まとめ
この問題は、次の流れで考えます。
まず、左から読んでも右から読んでも同じなので、左右対称を考えます。
「左側」と「真ん中」と「右側」に分けます。
全部で9個の文字を並べるので、真ん中があります。
Aは1個しかないため、真ん中以外には置けません。
したがって、真ん中はAに決まります。
□ □ □ □ A □ □ □ □
あとは、左側4個だけを決めれば、右側は自動的に決まります。
Bは2個なので、左側に1個、右側に1個置きます。
左側4個のうち、Bを置く場所は4か所あります。
したがって、並べ方は
4通り
です。
この問題のポイント
この問題では、
まず1つ作ってみること
がとても大切です。
思いつかないときに手が止まるのではなく、適当に1つ作ってみる。
すると、そこからルールが見えてきます。
この問題では、
BCCCACCCB
のように1つ作ることで、
「真ん中はAだ」
「左側だけ決めればよい」
「Bの位置だけ考えればよい」
と気づきやすくなります。
算数では、最初から完璧に考えようとしなくて大丈夫です。
書いたものを見ながら考える。
この姿勢が、初見の問題に強くなるための大切な力になります。
