渋谷幕張2020年解きました

渋谷幕張の問題を解きました。

下の基準で問題レベルを判定します。

A:ほとんどの人が出来る
B:取りこぼしたらややまずい
C:合格のためには取りたい
D:できたらアドバンテージ
E:できる人はごく僅か

渋谷幕張の入試問題はレベルが高いことが多いですが、ここのところ、立体図形以外はそれほど難しくないような気がします。

今年は平面図形の問題で、1問とんでもなく難しい問題がありましたが、ラストの立体図形は、例年よりはぬるい問題で、前半は易しめだったので、例年以上の平均点になることでしょう。

以前は作図問題は必ず出題されましたが、もう出さないことにしたのか、作図問題が得意な教師が作問スタッフから外れたのでしょう。

 

(1)A

有名な継子立て問題です。

ひねりのある問題を警戒しましたが、スタンダードな操作の問題でした。

42枚目の奇数なので83です。

 

(2)B

72なので、結構厄介です。

4巡目の8の倍数までは残り、次の5巡目に箱に入れます。

4巡目までで18枚残り、126枚取っています。

5巡目で5番目に箱に入れます。

 

(3)A

128枚になったときのラストです。

16枚目を箱に入れて、そのあと山の1番下にもっていった数です。

 

(1)A

まわりの枚数は必ず4の倍数になるけど、連続した2種類の整数では奇数になって4の倍数にならないというようなことを書けば十分です。

 

(2)B

等差数列の和の公式の逆算の問題です。

塾で頻繁にはやらないと思いますが、何回かはやっているはずの問題です。

結構、差がつく問題です。

和を40にします。

8×5なので、真ん中が8、個数5個です。

 

(3)C

これまた等差数列の和の公式の逆算です。

(2)よりは難しくなるんだろうと予測します。

和を60にします。

12×5から、真ん中12、個数5個

20×3から、真ん中20、個数3個

15×4から、真ん中7.5、個数8個なんてものもあります。

 

(4)D

(2)(3)より、一般化します。

数学っぽいですね。

(2)(3)のような2数の積にして、2数のどちらかに奇数があれば、できます。

つまり、枚数でできないものは、素因数分解したときに2しかないものになります。

8枚以上で、素因数分解したときに2しかないものは8、16、32、64、128、256です。

 

易しそうに見えますが、印象通り、易しい問題です。

(1)B

Aは2.5分で1.5㎝上がり、Bは7.5分で7.5㎝上がります。

時間を高さで割ったら、底面積の比3:5が出ます。

 

(2)C

Aは24㎝入れるので40分(45分)かかり、Bは40㎝入れるので、40分かかり、Bの勝ちです。

Aは5分遅れるので、あと3㎝のところでした。

Aは標準だと5分で3㎝ですが、2倍にしていれば5分で6㎝になり、Bと同時になりました。

(1)A

30度の三角形は30度を挟む2辺をかけて4で割れば面積を求められるので、三角形ABCは8×8÷4÷2=8㎠です。

三角形CDEも三角形ABCと同じ面積になります。

 

(2)A

2:1:√3だから、√3の2乗で、3!と言いたいところですが、一応、算数らしくやってみます。

AD:CD=CD:BDです。

相似だから、辺の比が等しくなります。

1:CD=CD:3

内項の積と外項の積は等しくなるので、CD×CD=3です。

 

(3)E

2辺の比をかけて、三角形ABE:三角形ADG=2×2:2×√3=2:√3

2辺の比をかけて、三角形DCF:三角形ADH=3×√3:2×1=3√3:2

三角形ADGと三角形ADHの面積は等しくなるので、2√3にしてみます。

三角形ABEは4、三角形DCF=9になります。

ルートばかり出てきて、驚かれた方もいらっしゃると思いますが、この解き方しか思いつきませんでした。

相似っぽいので、相似条件を考えること数時間

「補助線をひいたら見えにくくなるから危険」とよく生徒さんに言っていますが、ありとあらゆる補助線をひいてみましたが、結局ダメでした。

自分の実力不足なのかもしれませんが、入試問題として、こういうのはどうなのでしょう?

相似に見えて、AB:DC=2:3なので、相似比2:3、面積比4:9と予測がついてしまいます。

超難問なはずですが、正答率は20%以上はあると思います。

入試問題なので捨て問ではありません。

 

ルートや三平方の定理を使えば比較的簡単に解け、算数らしく考えると超難問というのは、私は趣味の悪い問題だと捉えています。

毎年のように「今年は難問・奇問はなかった」と言われますが、私は、この問題を「奇問」と呼びます。

算数らしく、ルートを使うのと同じか、それより易しい解き方をご存じの方は、お手数をおかけしますが、是非、教えてください。

 

渋幕の立体図形は骨の折れる問題が多いですが、今年はそうでもありませんでした。4番の図形で何時間も粘って疲れ切っている状態でも、なんとか解けました。

(1)A

6㎠が2面と、7.5㎠が2面と、底面9㎠です。

 

(2)①D・②E

Yは直方体の半分、Zは直方体の1/3と考えます。

Y:Z=4:1なので、直方体の体積比は8:3です。

BR:RC=8:3と分かりました(AQ:QBも8:3)。

すると、Xと、YやZの高さの比は11:3と分かります。

X+Y+Z=1331(11を3回かけたもの)、XのYやZより高い部分は512(8を3回かけたもの)、その下の部分は512×3×3/8=576

Xは1088、Y+Z=243で、ようやくZが分かります。

 

三角形PABと、Zの塗った部分は相似で、相似比は11:3、面積比は121:9です。

Zの塗った2面の面積の和を9×2=18にします。

Zの表面積は18×(1+4)=90になります。

Xの台形の側面1面は(121-9)=112です。

Xの底面、三角形の側面2面の合計3面の和は(90-18)×64/9=512

Xの長方形の側面1面は9×2×8/3=48

Xの表面積は、112×2+224+512+48×2=832

式だけで書いていくのは、かなり難しく、分かりにくいですね。

でも、実際に解くときには、捨て問と呼ばなくてはいけないほど難しいわけではありません。

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2 件のコメント

  • コメントありがとうございます

    AGとDHが等しい理由が、私には分からないのですが、
    角GADと角ADHが等しくなることが先に分かり、
    台形ADHGが等脚台形だからということでしょうか?

  • 問題文より AB:DC=2:3
    角BADと角CDFは同じ角度(簡単なので省略)
    ポイントは△AGEを△HDFの中にAGとHDが重なるように書くと二等辺三角形EFHができる GE;EF(=EH=AE)=1:2 より AE:DF=2:3

    これで三角形AEBと三角形DFCの相似の証明ができます

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