比と割合を得意分野にする

比と割合の問題にあたると、次のいずれかの行動パターンをよく見かけます。

  • 線分図をかこうとする
  • 等式をつくろうとする
  • 数字が散乱するようにちょこちょこ書く

 

算数教材塾・探求では、上記の行動をすべて否定しています。

もちろん、これで解けると確信が持てたときは、その方法がどんなものでも良いですが、解き方を探っている段階で、上記の行動を取ることを否定しているわけです。

また、方針が立つまで頭の中でじっくり考えるという作業は平面図形では有効ですが、その他の単元では「何か書いて考えた方が良い」と思っています。

 

まず、線分図は、線分図に適した問題か否かの判断をしなくてはなりません。

線分図に適さない問題を線分図をかいて解いても苦しいだけです。

線分図で解きやすい問題と解きにくい問題があることを理解し、これはどっちが良いだろうという目で見る習慣がつけば良いと思いますが、なかなかそのような習慣がつく指導を受けず、結果論で、こう書けば良いのかという学習が氾濫しているような気がします。

 

線分図で解ける問題で、塾では線分図で教わった問題も、問題の条件が多かったり、複雑で、子ども自身では線分図に表しにくい場合もあります。

そういうときに無理して線分図をかいても、難易度が高く、混乱しやすいです。

難関校の入試問題では線分図で解きやすい問題はほぼ出題されません。

では、どうして線分図をかくのだろうと考えると、伝統というか、昭和の頃の受験算数がもっと簡単だった時代の名残というか、線分図は基礎を固めやすいと思われているかです。

後述しますが、線分図では基礎固めには向いていません。

 

線分図にも利点はあります。

算数は、数学と違い、正負の数を機械的に徹底的に身につける学習はしないので、正負の数の和や差がイメージしにくい特徴があります。

それをイメージして納得するために、線分図が役に立つことがあります。

その線分図を子どもがかいてもいいのですが、それは講師や、解説書の仕事だと思います。

つまり、端的に表現しますと、線分図は見て納得するためのもので、かいて解くためのものではないとなります。

 

等式をつくることは、方程式の流れになります。

問題の難度が上がると、ほぼ方程式になります。

方程式を体が慣れるまで特訓していれば方程式でいいですが、そうでないならば、方程式で解くことは処理が難しくなる恐れがあるので避けたいです。

中学入試を作成する中学校の先生が、先取り学習で方程式を使いこなす子よりも、条件をしっかり読み取って、算数らしく柔軟に考える子に入学して欲しいと考えていて、そういう問題を練りに練って作成しているのに、それに逆行する行動は、なんかズレている気がします。

 

3番目の散乱は論外なのは言うまでもありません。

 

算数教材塾・探求でお薦めするのは、表です。

縦と横を使って、整えて条件を書いていきます。

慣れてくれば無意識に良い表が書けますが、簡単に言葉で説明しますと、横には、かけ算の関係になるものを並べて書きます。

例えば「単価×個数=合計金額」なので、「単価」と「個数」と「合計金額」を横に並べます。

必要に応じて、縦に並べて書いていくと、いま分かっている条件、まだ分かっていない条件が一目瞭然で分かります。

まだ分かっていないもので求められるものを求めていけば、設問を見なくてもかなり高い確率で、答えまでたどり着けます。

線分図で解ける問題は、表ですべて解けますし、消去算などにも繋がりやすいです。

合計などは分かっているのに、解き進められない…というときは、つるかめ算を活用する可能性が極めて高いです。

線分図で解ける問題は解けて、線分図で解けない問題も解けて、整理していく間に、消去算やつるかめ算などに移行しやすいので、まだ解き方が見えていない初期段階ではとても有効なツールです。

 

このように、比と割合の問題は、表を書くことがイロハのイの字ですが、私も、以前は線分図で教えていました。

しかし、教えても教えてもできるようにならない生徒さんもいました。

いまはスカイプ指導で、「塾で割合を習いましたが苦手です」という生徒さんもあっという間に、かなり解ける形になります。

対話式算数で家で勉強している生徒さんは、私が教える前から、表で解く姿勢ができているので、少しアドバイスをするくらいで、かなり解ける形になります。

そういった現象から、比と割合は、表以外は考えられないというところまできています。

導入段階で身につきやすく、その後もかなり応用問題にも対応できるようになっていますので、上記の線分図で基礎固めというのは違っていると思っています。

線分図をかくことは作業の要素が強くなるので、それが主となり線分図をかいてから本格的に考えるということをせず、また、線分図はパッと見て把握しやすいですが、深く考えることには適していないため、結局、考えないから基礎固めにならないのだと思います。

 

しかし、塾などで「比と割合は線分図で解くもの」と身についている子どもが多いと思います。

あるいは、問題によってバラエティー豊かに線分図や方程式を披露されて、混乱している子どもも多いと思います。

どんなときでも、まず表にまとめるという姿勢の子どもはほぼいないと思います。

 

とても嘆かわしいことだと思っていましたが、それなら自分自身で本を書いてみたら?ということで、初の書籍を執筆し発売することにしました。

2023年2月に「比と割合は書き方を変えれば簡単に解ける」という参考書を発売します。

全部で80問で、表で解くために必要な要素をあますところなく伝えています。

1ページで問題と解説を完結させていますが、解説が2ページにまたがることもあり、全部で110ページくらいになります。

もう少し問題数を少なくしてもいいような気もしますが、念のためにこれもやっておいた方がいいかな?というものも入れていきましたので、算数が得意で、コツが分かったらそれを自分で工夫して加工(問題によって最適なものに変えること)できる子ならば、半分の40問くらいで卒業、加工の仕方もしっかり学びたいという子は全80問取りかかると、比と割合の実力がつきます。

5年生向けの基本的なシンプルな問題が多いですが、表を書くスキルが身につきますので、難関校で出題される問題に繋がっていきます。

その意味では、6年生で比と割合の解き方を得点源にできない子どもにも役に立つと思います。

 

比と割合の問題をマスターするためには、実戦から入らず、解き方を固めることから入ると良いと思います。

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