対話式算数第85話:立体の切断

立体の切断です。

苦手意識を持つ受験生が多いです。

「同じ面上の点を結ぶ」「向かい合う面は平行になる」「立方体の辺を延長して面が広がっていると考える」という3つのテクニックを正しく使えば、切り口はそれほど苦も無く求められます。

テクニックを意識しないで、頭の中で考えると難しいかもしれません。

市販の立体の切断グッズ、立体の切断の解説動画、豆腐や羊羹を切る実演などで、身につけようとする人が多いですが、豆腐を切るときに、向かい合っている面は平行になることだけ納得できれば十分だと思います。

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小5対話式算数

 

第85話:立体の切断の概要

 

85・1

「同じ面上の点を結ぶ」「向かい合う面は平行になる」「立方体の辺を延長して面が広がっていると考える」の全パターンを説明しています。

 

85・2

立方体の頂点を切り落とす問題です。

立方体の3つの頂点を通る直角三角すいは、立方体の1/6になることを身につけると良いと思います。

 

85・3

円すい台の体積や表面積を求める問題です。

円すい台の体積は、比を使うことをお勧めします。

平面図形の相似比と面積比の関係も定着しやすくなると思います。

表面積は、側面積は、比を使ってもいいですが、大きな円すいの側面から、上の円すいの側面をひいた方がイメージしやすいと思います。

パップスギュルダンの公式も紹介しています。

 

85・4

角すい台の問題です。

立方体を切断して角すい台をつくる問題はよく出ます。

三角すいをくっつけて大きな三角すいにします。

比を使えるところは使うようにします。

 

85・5

85・4の発展編です。

立方体の辺を延長して面が広がっていると考えて切り口を完成させます。

その後は、三角すいを2つか3つくっつけて大きな三角すいにします。

三角すいの体積比を求めるよりも、地道に体積を求めていった方が単純でやりやすいような気がします。

出てくる直角三角すいは相似になるので、3辺の比が等しいことを利用することと、3辺をかけて6で割ると体積が求められることを利用するとスマートになり、正答率が上がると思います。

入試によく出るくらい、緻密に解くか、上手く解かないと差が付きやすい問題です。

 

練習問題

番号 講評
1 「同じ面上なら結ぶ」と「向かい合う面は平行」を意識すれば求められる問題です。
2 立方体の1/6の三角すいを何個切り落としているかを考えます。
3 (1)頂点や辺はできるだけ計算で求めましょう。(2)立方体の1辺の長さを決めて計算しても良いと思います。
4 ウ→イウ→全体→アの順に体積を求めましょう。切り口の面積は、展開図が正方形になる三角すいを利用します。
5 立方体からいくつかの立体を切断してできた形と考えます。
6 三角柱から三角すいを切断した形です。底面積に高さの平均をかけて体積を求めてもいいです。
7 上の円すいと全体の円すいの相似比と体積の比を考えます。
8 上に円すいを載せて、上の円すいと全体の円すいの相似比を考えます。パップスギュルダンの公式を使えば、簡単に計算できますが、地道に求めても良いと思います。
9 上の底面と、下の底面と、側面をそれぞれ求めます。側面は大きな円すいの側面から上の円すいの側面をひいて求めることができます。
10 下に三角すいをくっつけて大きな三角すいをつくります。定番の体積比1:7を使って求めてみましょう。
11 上の四角すいと全体の四角すいの相似比と体積比を考えます。
12 立方体の辺を延長して面が広がっていると考えて切り口を完成させます。三角すいを2個くっつけて大きな三角すいにします。三角すいの3辺の比を考えるようにしましょう。
13 向きはあまりよくありませんが、前問のように立方体の辺を延長して面が広がっていると考えて切り口を完成させ、三角すいを2個くっつけて大きな三角すいにします。

※「難」は難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

※「要」は重要度で以下の基準です(B・C・Dのみ表記)。
ジ:基本骨格となる重要な問題
テ:よく出る典型題
ヒ:捻りのある問題
サ:地道な作業が必要な問題

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