対話式算数第73話:底辺比と面積比(1)

割合と比の文章題が第52話から第72話まで続き、今週から、ひさしぶりに図形です。

まずは5週間かけて重要な平面図形と比を学習します。

今週の第73話は底辺比と面積比は等しくなることを利用する問題、来週の第74話は公式通りに面積を求める問題、第75話と第76話で相似、第77話が正多角形で、ここで比は終了し、第78話は線対称と点対称と続く予定です。

2019年版までとは構成が少々変わると思います。

平面図形と比や、速さの問題は、つかみ所がない単元だと思いますが、可能な限り単純な分類で、解くための一歩を踏み出せるような導き方をしたいと考え、改訂しました。

相似を使わない平面図形と比は、第73話の「底辺比と面積比が等しい」を使うか、「公式通りに面積を求める」のどちらかで解けます(どちらを使っても良い問題も多いです)

他の方法でも解けますが、この2本柱をしっかり固めた方が応用に繋がっていくと思います。

2週間で2本柱を固めて、相似の問題以外は、手を動かして自力で解けるようになって欲しいと思います。

ちなみに次週の第74話は「底辺比と面積比②」というタイトルですが、これは一般的な教材の解説では、補助線をひいて底辺比と面積比の考えを使って解く問題だからです。

タイサンでは、補助線をひいてまで底辺比と面積比は等しいを使わずに(上手く使える生徒さんが少数派なので)、そういう場合は公式通りに求めるという分類をした方が良いと考え、タイトルとは異なる解き方になります。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小5対話式算数

 

第73話:底辺比と面積比①の概要

 

73・1

頂点が同じ三角形は、高さが等しいので底辺比が面積比になります。

同頂点の三角形と呼ぶことにしています。

慣れるまでは、問題の図の向きを変えて、底辺を所定の位置になるようにして考えましょう。

 

73・2

1つの図形の中に複数の同頂点の三角形がある問題を学習します。

どこを底辺にするか、またはどこを頂点にするかを考えることがポイントです。

同頂点の三角形が複数あると見えにくいので、図を分けてかいたり、色を使って解くと早く身につくと思います。

分数でポンポン求めていくことも可能ですが、1つの三角形が4つの三角形で区切られているとしたら、その4つの面積比を書き入れるようにした方が理解が深まると思います。

その場合は、小さい方から考えていくことがポイントです。

 

73・3

73・2の応用です。

73・2は底辺比から面積比を求めましたが、今回は、面積比から底辺比を求めます。

慣れていれば、逆にしただけだよと軽く言えますが、生徒さんにとっては簡単なことではないようです。

上記の通り、図を分けたり、色を使ったりして、ていねいに面積や、面積比、底辺比を書き入れましょう。

 

73・4

正方形や長方形の問題です。

四角形だと同頂点の三角形の面積比を使えないので、対角線をひいて三角形に分けます。

次週の第74話の公式通りに求める方法でも解けますが、補助線を少しは説明しなければいけないと考え、補助線をひいた方が、楽に解ける問題をここで扱うことにしました。

 

73・5

台形の問題です。

台形も、次週の第74話の公式通りに求める方法でも解けますが、対角線をひいて底辺比と面積比が等しいを使った方が簡単だと思います。

対角線をひいたら、上底と下底の比と、2つに分けられた三角形の面積の比が等しくなることを使います。

 

練習問題

問題番号 講評
1 A 面積比を求めて、底辺比にその比を書き入れましょう。
2 底辺を所定の位置にして、底辺比が面積比になることを利用しましょう。
3 同頂点の三角形が2組入っています。3つに分けられているので、その面積比を考えましょう。
4 3番と同様です。
5 同頂点の三角形が3組入っています。4つに分けられているので、小さい方から考えていきましょう。
6 5番と同様です。
7 ここまでと趣向の異なる問題ですが、全体の三角形を3つに分けて、底辺比と面積比が等しいを使う問題です。半径が高さになって等しくなるからです。
8 問題文にある3:2も使って、3つの三角形の面積比を求めます。
9 比をそろえるのが大変です。三角形AEDと三角形ADFは等しいので、4つの三角形の面積比が分かります。
10 ここまでで1番難しい問題です。三角形ADCから、四角形AFECをひくと(1)が分かり、そこから4つの三角形の面積が分かります。
11 対角線をひいて、3つの三角形に分け、面積比を考えましょう。
12 対角線をひいて、4つの三角形に分け、面積比を考えましょう。
13 台形が3つの三角形に区切られていますので、その面積比を求めましょう。
14 対角線をひいて4つの三角形に分けます。その面積比を求めましょう。
15 対角線をひいて3つの三角形に分けます。その面積比を求めましょう。台形を2等分とあるので、全体の台形の面積を決めることがポイントです。
16 対角線をひいて3つの三角形に分けます。その面積比を求めましょう。Qの面積を決めることがポイントです。

※難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

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