渋谷幕張2020年解きました

渋谷幕張の問題を解きました。

下の基準で問題レベルを判定します。

Ａ：ほとんどの人が出来る
Ｂ：取りこぼしたらややまずい
Ｃ：合格のためには取りたい
Ｄ：できたらアドバンテージ
Ｅ：できる人はごく僅か

渋谷幕張の入試問題はレベルが高いことが多いですが、ここのところ、立体図形以外はそれほど難しくないような気がします。

今年は平面図形の問題で、１問とんでもなく難しい問題がありましたが、ラストの立体図形は、例年よりはぬるい問題で、前半は易しめだったので、例年以上の平均点になることでしょう。

以前は作図問題は必ず出題されましたが、もう出さないことにしたのか、作図問題が得意な教師が作問スタッフから外れたのでしょう。

１

（1）Ａ

有名な継子立て問題です。

ひねりのある問題を警戒しましたが、スタンダードな操作の問題でした。

42枚目の奇数なので83です。

（2）Ｂ

72なので、結構厄介です。

４巡目の８の倍数までは残り、次の５巡目に箱に入れます。

４巡目までで18枚残り、126枚取っています。

５巡目で５番目に箱に入れます。

（3）Ａ

128枚になったときのラストです。

16枚目を箱に入れて、そのあと山の１番下にもっていった数です。

２

（1）Ａ

まわりの枚数は必ず４の倍数になるけど、連続した２種類の整数では奇数になって４の倍数にならないというようなことを書けば十分です。

（2）Ｂ

等差数列の和の公式の逆算の問題です。

塾で頻繁にはやらないと思いますが、何回かはやっているはずの問題です。

結構、差がつく問題です。

和を40にします。

8×5なので、真ん中が8、個数5個です。

（3）C

これまた等差数列の和の公式の逆算です。

（2）よりは難しくなるんだろうと予測します。

和を60にします。

12×5から、真ん中12、個数5個

20×3から、真ん中20、個数3個

15×4から、真ん中7.5、個数8個なんてものもあります。

（4）Ｄ

（2）（3）より、一般化します。

数学っぽいですね。

（2）（3）のような2数の積にして、2数のどちらかに奇数があれば、できます。

つまり、枚数でできないものは、素因数分解したときに2しかないものになります。

8枚以上で、素因数分解したときに２しかないものは8、16、32、64、128、256です。

３

易しそうに見えますが、印象通り、易しい問題です。

（1）Ｂ

Aは2.5分で1.5㎝上がり、Bは7.5分で7.5㎝上がります。

時間を高さで割ったら、底面積の比3：5が出ます。

（2）Ｃ

Aは24㎝入れるので40分（45分）かかり、Bは40㎝入れるので、40分かかり、Bの勝ちです。

Aは5分遅れるので、あと3㎝のところでした。

Aは標準だと5分で3㎝ですが、２倍にしていれば5分で6㎝になり、Bと同時になりました。

４

（1）Ａ

30度の三角形は30度を挟む2辺をかけて4で割れば面積を求められるので、三角形ABCは8×8÷4÷2＝8㎠です。

三角形CDEも三角形ABCと同じ面積になります。

（2）Ａ

2：1：√3だから、√3の2乗で、3！と言いたいところですが、一応、算数らしくやってみます。

AD：CD＝CD：BDです。

相似だから、辺の比が等しくなります。

1：CD＝CD：3

内項の積と外項の積は等しくなるので、CD×CD＝3です。

（3）E

2辺の比をかけて、三角形ABE：三角形ADG＝2×2：2×√3＝2：√3

2辺の比をかけて、三角形DCF：三角形ADH＝3×√3：2×1＝3√3：2

三角形ADGと三角形ADHの面積は等しくなるので、2√3にしてみます。

三角形ABEは4、三角形DCF＝9になります。

ルートばかり出てきて、驚かれた方もいらっしゃると思いますが、この解き方しか思いつきませんでした。

相似っぽいので、相似条件を考えること数時間

「補助線をひいたら見えにくくなるから危険」とよく生徒さんに言っていますが、ありとあらゆる補助線をひいてみましたが、結局ダメでした。

自分の実力不足なのかもしれませんが、入試問題として、こういうのはどうなのでしょう？

相似に見えて、AB：DC＝2：3なので、相似比2：3、面積比4：9と予測がついてしまいます。

超難問なはずですが、正答率は20％以上はあると思います。

入試問題なので捨て問ではありません。

ルートや三平方の定理を使えば比較的簡単に解け、算数らしく考えると超難問というのは、私は趣味の悪い問題だと捉えています。

毎年のように「今年は難問・奇問はなかった」と言われますが、私は、この問題を「奇問」と呼びます。

算数らしく、ルートを使うのと同じか、それより易しい解き方をご存じの方は、お手数をおかけしますが、是非、教えてください。

５

渋幕の立体図形は骨の折れる問題が多いですが、今年はそうでもありませんでした。４番の図形で何時間も粘って疲れ切っている状態でも、なんとか解けました。

（1）Ａ

6㎠が2面と、7.5㎠が2面と、底面9㎠です。

（2）①Ｄ・②Ｅ

Yは直方体の半分、Zは直方体の1/3と考えます。

Y：Z＝4：1なので、直方体の体積比は8：3です。

BR：RC＝8：3と分かりました（AQ：QBも8：3）。

すると、Xと、YやZの高さの比は11：3と分かります。

X＋Y＋Z＝1331（11を3回かけたもの）、XのYやZより高い部分は512（8を3回かけたもの）、その下の部分は512×3×3/8＝576

Xは1088、Y＋Z＝243で、ようやくZが分かります。

三角形PABと、Zの塗った部分は相似で、相似比は11：3、面積比は121：9です。

Zの塗った2面の面積の和を9×2＝18にします。

Zの表面積は18×（1＋4）＝90になります。

Xの台形の側面1面は（121－9）＝112です。

Xの底面、三角形の側面2面の合計3面の和は（90－18）×64/9＝512

Xの長方形の側面1面は9×2×8/3＝48

Xの表面積は、112×2＋224＋512＋48×2＝832

式だけで書いていくのは、かなり難しく、分かりにくいですね。

でも、実際に解くときには、捨て問と呼ばなくてはいけないほど難しいわけではありません。