過不足算について

今回のブログは、タイトル通り、過不足算についてです。

単元の話なので、興味の無い方はまったく面白くはないと思います。

過不足算は、サピックスでは４年生で学習し、四谷大塚では５年生前期に学習し、日能研では５年生後期に学習します。

サピックスと日能研では過不足算と呼んでいますが、四谷大塚では差集め算と呼んでいます。

意味をよく考えると、差集め算の中に過不足算があるといった感じです。

とは言いましても、単元名は別にどうでもいいので、あまり拘る必要はありません。

なぜか、このサイトの検索ワードで「過不足算」が多いです。

何か理由があるのかもしれませんが、検索したくなるほど厄介な単元なんだと認識しています。

過不足算は、面積図、線分図、表、式のいずれかで解くと思います。

サピックスは面積図、日能研は線分図、四谷大塚や関西系は表だと思います。

これは統一解説のことで、個々の講師によって様々かもしれません。

算数教材塾・探求では2016年度までは表にしていましたが、2017年度から式にかえました。

実は表の前は線分図にしていたので、渡り鳥のように渡り歩き、式に行き着きました。

式というのは、面積図や線分図や表を書かないで、式だけで解くというものではありません。

割合を使って解くという意味です。

過不足算の例題１として、「ミカンを１人に５個ずつくばると11個あまり、１人に８個ずつくばると7個不足する」という問題を解くことにします。

割合で解くというのは、人数を①人にして、ミカンの個数を求める式を作ります。

⑤＋11
⑧－7

このように並べたら、差が等しいので、③＝18個、①＝６人、ミカンは⑤＋11＝41個になります。

「＋11」と「－7」の差が18というのはハードルが高い！と叫ばれている方もいると思いますが、それは百も承知です。

その前に、和と比、差と比、倍数変化算で、さんざん「＋」と「－」の扱いを練習します。

それを習得した上で、このような解法を使っています。

したがって、扱う時期は、割合を十分に学習した後の５年生の１学期です。

サピックスや関西系の塾は、割合の前の学習なので、面積図や表で解くのは理解できますが、四谷大塚や日能研は、割合の学習の後なのに、なぜ、表や線分図で学習するのか解せないところもあります。

最近、新小５対話式算数の過不足算の章を書き終えましたが、割合で解く過不足算はなんて楽なんだろうと改めて思いました。

それと同時に、割合を使わないで過不足算を扱う理由は何だろうと思いました。

１つはそこで頭を鍛えるというものもありますが、過不足算の代わりに、図形や場合の数で頭を鍛えた方が理に適っていると思います。

また、割合で解くと、分配の法則も使いやすいです。

例題２として「生徒を長いすに１脚に５人ずつ座らせると長いすは２脚不足し、１脚に８人ずつ座らせると４脚あまる」という問題を解くことにします。

これは、お子様に算数を教えられている方は実感すると思いますが、ものすごく教えるのが難しいです。

教えてもなかなか身につかない問題ワースト10に入るかどうかという問題です。

長いすの数を①脚とし、１脚あたりの人数と、いす数をかければ総人数になるので、その式を並べます。

5×（①＋2）＝⑤＋10
8×（①－4）＝⑧－32

差が等しいので、③＝42人、①＝14脚、人数は⑤＋10＝80人となります。

いすが不足しているのに「＋２」、いすがあまっているのに「－４」というところは慣れていないと間違いやすいので、それなりの演習が必要ですが、それでも割合を習得してからの方がマスターするまでの負担は小さいはずです。

この解法ならばワースト10には入らないと思います。

ここまで先入観無しで見ると、過不足算は、割合を学習した後で、学習した方が良いと思いませんでしょうか？

もっと言いますと、上の解き方は、○は使っていますが方程式です。

つまり、過不足算は、算数で解かずに数学で解いた方が良いという主張です。

こう書くと、方程式は万能！と思われがちですが、そうではありません。

つるかめ算は、速さ、売買損益算、仕事算によく登場するので、方程式で解くというのは暴論だと思います。

平均算は、食塩水の濃度、逆比に繋がっていくので、これも方程式で解かない方が良いと思います。

それに対して、過不足算は、方程式で解くことにマイナス要素はないと思います。

美味しいところだけ方程式をつまんでいく感覚です。

なぜ大手塾では、過不足算・差集め算を割合を使わずに解くのでしょうか？

伝統という２文字しか思いつきません。

スポーツ科学では常に新しいことを取り入れていますが、学問は案外、伝統的です。

そういう私もタブレット学習のどこが良いのかさっぱり分かりませんが、単元の扱い方についてはもっと効率的にできると思っています。

システム維持という命題がなく、私の一存でフットワークよく変更できる対話式算数がベストのカリキュラムでベストの教材だと思っています。

まとめますと、過不足算を割合なしで頑張らせることにも意味がありますが、そのエネルギーを平面図形や場合の数などにまわし、過不足算は、倍数変化算の後のおまけとして軽く習得した方がトータルでプラスになるということです。

今回は、マニアックな領域になってしまいましたが、ここまでお読みくださり、良い内容だったと思われた方は、是非、にほんブログ村のバナーボタンをクリック願います。

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