対話式算数第78話：線対称と点対称

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小５対話式算数は３週間を同一テーマとして進んでいます。

平面図形と比で５回分というのは増やすことも減らすことも困難なため、何か他に平面図形を１回分入れて６週間にすることにしました。

そこで、線対称と点対称という独立した単元に白羽の矢を立て、今回扱うことにしました。

そういう経緯ですので、ラストの78・5の反射の問題は６年生向けでハードです。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小５対話式算数

 

目次

第78話：線対称と点対称の概要

 

78・1

紙を折り曲げてから、切る問題です。

切ったときの面積を求め、そこから紙を広げていきます。

原則的に広げるごとに、切られた部分の面積は２倍になります。

今回は出てきませんが、複雑な折り方をされている場合は、慎重に作図します。

 

78・2

線対称や点対称を見つける問題です。

線対称は折ったときに重なるか、点対称は180度回したときに重なるかです。

対称の軸の本数もここで学習します。

 

78・3

対称な図形の作図の練習です。

それほど簡単ではありません。

慎重に根気よくかいていきます。

 

78・4

平面図形の最短距離の問題です。

最短距離といえば、立体図形の方がよく出題されますが、いずれも１本の直線にすることがポイントです。

１本の直線にするから、対称の図形が必要になると考えます。

 

78・5

タイトルはビリヤード問題としていますが、反射の問題です。

  1. 内部に作図して相似を使う
  2. 外部に作図して相似を使う
  3. 最小公倍数を利用して、はね返る回数を求める
  4. 比を活用して、はね返る回数を求める

この反射の問題は、上の４パターンあり、下に行くほど難しくなります。

今回は３番まで学習します（４番は練習問題のラストに基礎的な問題を入れています）。

２番までは頑張って身につけて欲しいです。

３番は、レベルが高いので先送りでよいです。

機械的に最小公倍数を使って「＋1」や「ー1」を暗記して解くことは避けたいです。

 

練習問題

問題番号 難 講評
1 Ａ ２回折ったあとの斜線部分を求めて、２回２倍します。
2 Ａ ３回折ったあとの斜線部分を求めて、３回２倍します。
3 Ａ それぞれの斜線部分が、線対称や点対称ならばどこに行くか（対応するか）を考えます。
4 Ａ 人気のある問題です。楽しく解けると思います。
5 Ｂ 線対称はまだいいですが、点対称を作図するのは大変です。根気よく取り組みましょう。
6 Ａ 線対称はまず対称の軸を考えます。三角形が、線対称や点対称ならばどこに行くか（対応するか）を考えます。
7 Ｂ ６番の応用です。②⑤⑧はすぐに決まるので、残り２か所を点対称になって線対称にならないように置きます。線対称は対称の軸を考えます。
8 Ｂ 点対称の中心がどこになるかを考えます。
9 Ｂ DCを対称の軸とする線対称の図形をかいて、APEを一直線にします。相似を利用して解きます。
10 Ｃ 川幅がゼロだったらと考えます。
11 Ｂ 内部に球の通った跡をかいて、三角形の相似を利用します。
12 Ａ 作図の練習です。
13 Ｃ 金属板の左端にぶつかるときと右端にぶつかるときを考えます。いずれも線対称を利用します。
14 Ｄ ５年生ではレベルは高めですが、長方形を順にかいていき、相似を利用します。
15 Ｄ 14番と同じような問題ですが、三角定規の2：1を使うので、こちらの方がレベルが高いかもしれません。
16 Ｄ 長方形を順にかいていくと、45度に発射しているので、全体の形は正方形になります。正方形なので、最小公倍数を利用できます。ならべた長方形の縦と横の個数から反射の回数やどの頂点にぶつかるか分かります。
17 Ｄ 最終的な形が、縦と横が4：3になり、縦が4の倍数、横が7の倍数になるような長さに決めます。それが決まったら、動いた長さは簡単に求められます。

※難度は以下の基準です。
Ａ：確実に解けるようにしたい問題
Ｂ：サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
Ｃ：サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
Ｄ：特に難しい問題

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