対話式算数第77話:正六角形と比

平面図形と比の5回目で、最終回です。

単元は正六角形と比です。

対話式算数は毎回5テーマですが、今回は5テーマのうち4テーマは従来の底辺比と面積比③の内容です。

今回、新たに1つのテーマを作成しました。

新たなテーマは「正六角形を良い方向から見る」という単元で、良い向きで見れば、A型やX型の相似を利用できるというレベルの高い問題です。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小5対話式算数

 

第77話:正六角形と比の概要

 

77・1

正六角形を6分割する問題です。

2種類の6等分の他に、形は違うけど、面積が等しい6等分も扱います。

6等分から、実戦的な「1:4:1」や「1:2:2:1」に発展していきます。

 

77・2

18分割です。

向きが正反対の正三角形を2つかいて、中にできた正六角形を6等分すると、18等分になります。

形を見たときに「これ18等分の図形?」と閃く力を付けて欲しいです。

 

77・3

77・1で少し触れましたが、「1:4:1」や「1:2:2:1」、あるいは「形の違う6等分」を利用して面積比を求める問題です。

第73話で区切られた図形を面積比で表しましたが、ここでも、それを行います。

 

77・4

今回新作のテーマです。

入試問題の正六角形の難問は、向きを変えて相似を使いこなしていくと解きやすい問題がありますが、その基礎となります。

どの向きにしたら、相似を使いやすいかという基準で、最も見やすい向きはどこかを考えます。

正六角形を6等分した正三角形と面積をくらべることも重要なポイントです。

 

77・5

正六角形は6つの正三角形に分割することができますが、3つの正三角形をくっつけると、大きな正三角形ができるという特徴もあります。

正三角形をくっつけて大きな正三角形にして解くという問題が難関校ではときどき出題されます。

77・4もレベルは高めでしたが、77・5も6年生レベルのテクニックでハイレベルですが、ここでテクニックを身につけましょう。

 

練習問題

問題番号 講評
1 6等分します。
2 「1:4:1」を利用すると分かりやすいです。
3 正三角形を動かして、正六角形に重ねると簡単に解けます。
4 かどの三角形の割合を利用して、白い部分は、正六角形の6分の1の何分のいくつかを考えます。
5 18等分します。
6 慣れていないと閃きにくいですが、18等分の図形です。
7 白い正六角形を18等分してみると、全体は24等分されます。
8 ㋐は、正六角形の6分の1の3分の1です。㋑は「1:2:2:1」を利用します。
9 「1:4:1」を利用して、間の長方形が何対何に分けられているかを考えます。
10 向きを変えて、白い部分の三角形と台形を公式通りに面積を求めます。斜線部分を区切っても解けます。公式通りに求めたら、正六角形の6分の1の正三角形とくらべます。
11 図1は「1:2:2:1」などを利用して、3つの白い部分の三角形の面積をそれぞれ求めていきます。図2は二等辺三角形から白い部分をひきますが、白い部分を求めるときにX型の相似を利用します。
12 図1はDEを底辺の位置にして、MEを結び、CFの分割比を考えて、公式通りに解きます。図2は(1)ができていたら、X型の相似を利用して、公式通りに求めます。
13 左に正三角形をくっつけます。かどの三角形の割合を利用して、面積比を求めていきます。
14 上と左下と右下に正三角形をくっつけて、大きな正三角形をつくります。かどの三角形の割合を利用して、面積比を求めていきます。
15 左下と右下に正三角形をくっつけます。底辺比と面積比ですべての面積比を求められます。
16 正六角形ではありませんが、3つの正三角形をくっつけて、大きな正三角形をつくります。正三角形の辺の比から、面積比を求めます。

※難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

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