対話式算数第76話:相似(2)

平面図形と比の4回目です。

相似の2回目です。

次回も平面図形と比ですが、正六角形というやや枝葉の単元になりますので、今週で平面図形と比の基本骨格は学習終了といってもいいです。

大手塾ではこれをだいたい2~3週くらいで終わらせますが、対話式算数では、正六角形を除いて4週間必要だと考えています。

相似を扱わない平面図形と比の1回目と2回目は「底辺比と面積比」「公式通りに解く」と明確に分けましたが、相似の1回目と2回目は、1回目が基礎に対し、2回目はその応用となり、難度が異なるものとなります。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小5対話式算数

 

第76話:相似②の概要

 

76・1

台形に2本対角線をひき4分割する問題です。

この4分割の面積比は上底と下底の比から簡単に求められます。

絶対に覚えるものというわけではありませんが、知っておくと、解法がスマートになる問題がありますので、身につけておきたいです。

平行四辺形などで、補助線をひいて台形の4分割をつくり、その台形に含まれない部分の面積比を求めることがポイントです。

 

76・2

A型とX型の相似をともに利用する問題です。

相似比の分かる方から考えます。

X型の相似に気を取られ、つい、A型の相似比を考えずに比を間違える人が多いです。

A型は重なる図形だから丁寧に考えないといけないと痛感する問題です。

 

76・3

X型の相似が2組ある問題です。

2組の相似比を利用して、1本の斜め線の分割比を求める方法が一般的ですが、タイサンでは三角形から三角形をひいて答えを出す解法をメインにしています。

応用問題に通用しやすい解法だと思います。

 

76・4

長方形を折り返す問題です。

相似の直角三角形ができます。

3辺もしくは2辺の比を求めて、長さを求めたい直角三角形に長さの比を書き入れます。

発展学習として、三平方の定理の証明も紹介しています。

 

76・5

縮尺の問題です。

実際を求めるのか地図上を求めるのかを判断します。

面積は、なぜ2回かけるのかを理解することも大切です。

恐ろしい小数になりそうなタイミングで単位を直します。

単位は「㎢」「㎡」「㎠」「ha」「a」の関係を使います。

最小限の知識を身につけて活用するようにします。

 

練習問題

問題番号 講評
1 X型の相似を使っても、台形の4分割を使っても、どちらでも同じくらいの負担で解けます。答えが出たら終わりではなく、解き比べてみるといいと思います。
2 これは1番とは異なり、台形の4分割の方が楽だと思います。
3 面積比から、相似比を考えて台形の4分割を使います。
4 横に倒れていますが、台形の4分割で解きやすい問題です。
5 4年生でも解ける問題ですが、5年生なら、補助線をひいて台形の4分割を使って鮮やかに解きたいです。
6 5番の類題ですが、これは辺の長さが分からないので、比を使います。
7 X型の相似を利用して、AE:EBを求めたら、A型の相似を利用します。最後は公式通りに面積を求めます。
8 X型の相似を利用して、AF:FCを求めたら、A型の相似を利用します。A型は倒れているので間違えやすいですが、丁寧に相似比から考えます。
9 A型2組とX型1組を使うか、A型3組を使うかのどちらかです。やや複雑なので、相似比の分かるものから順に丁寧に考えます。
10 X型の相似を2組利用して、EG:GH:HCを求めます。ECの長さを決めることがポイントです。(2)は「底辺比と面積比」で解いた方が良いと思います。
11 X型の相似を2組利用する問題です。長方形の1/4の三角形から、2つの三角形をひきます。高さは計算しやすい数字に決めても良いです。
12 ㋐は1組のX型の相似で求められますが、㋑は3組のX型の相似で、3つの三角形を求めます。5年生で、これがしっかりマスターできれば、トップレベルだと思います。
13 1組の直角三角形の相似を見つけます。3辺の比を書き入れます。
14 1組の相似の三角形が3つあります。3辺の長さが分かっていない2つの三角形に、3辺の長さの比を書き入れます。
15 実際の距離は、地図上の何倍かを求めます。初めから単位はそろえます。
16 45㎝に8000をかけて、実際の距離を求めます。そのあと単位を「m」にして、まず分速を求めます。
17 (2)は地図上の面積に拡大率を2回かけます。その計算のあと、「㎡」「a」を経由して「ha」まで直します。
18 実際の面積を、縮小率で2回割ります。恐ろしい小数になりそうなので、初めから24㎢を「㎡」を経由して「㎠」まで直します。
19 実際の面積は、地図上の面積の何倍かを求めます。これは、拡大率を2回かけたものです。

※難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

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