対話式算数第75話:相似(1)

平面図形と比の3回目です。

相似の1回目です。

相似の条件は3つありますが、中学入試に出てくるのは2つの角が等しいのみです。

相似には、ピラミッド型と呼ばれるタイプ(ここではA型と呼んでいます)と、クロス型や砂時計型と呼ばれるタイプ(ここではX型と呼んでいます)と、直角三角形似があります。

A型が最も厄介です。

A型がしっかりマスターできたら、応用に進むことができます。

応用になるとX型の問題が多くなります。

というよりも、A型でもX型でもできる問題は、単純なX型の方が解きやすいので、X型を使うことを推奨しているという意味です。

 

興味のある方はこちらにどうぞ

対話式算数とは

小5対話式算数

 

第75話:相似①の概要

 

75・1

A型の相似です。

2つの三角形が重なっているので間違いやすいです。

すぐに辺の比を求めずに、相似比を求めることがポイントです。

相似比と面積比の関係は、覚えるのでは無く、公式通りに面積を求めることを意識して、身につけると良いと思います。

 

75・2

X型の相似です。

三角形の向きが異なりますが、重なっていないので、A型よりも単純です。

X型の三角形の相似比を使って図形全体の高さを決めるというのは、平面図形と比の解法の基本骨格です。

 

75・3

直角三角形の相似です。

多くの塾ではA型とX型の2つは確立させていますが(呼び方は様々ですが)、このタイプの相似は、マイナーな存在のようです。

このタイプは、直角が目立つからか、相似比を考えるよりも、辺の比を考えた方が簡単です。

3辺または2辺が分かっている三角形の辺の比を、辺の長さを求めたい三角形の辺に丸数字で書き入れます。

辺の長さが分かっている三角形に丸数字の比を書き入れる人が多いですが、それは無意味な行為です。

 

75・4

A型の相似の、よく出る2種類の問題を扱います。

覚える算数を肯定していませんが、経験を積んで知識を増やすことは重要です。

解き方を身につけましょう。

 

75・5

影の問題です。

補助線をひいて、相似をつくることが大切です。

直角三角形になるので、辺の比で解いていくと良いと思います。

壁の影や、立体の影は入試でよく出ますが、そういう問題の基礎となります。

 

練習問題

問題番号 講評
1 A A型の相似です。相似比を考えましょう。
2 8:8:4を小さくしてから、相似比を考えましょう。
3 相似比を面積比に変えます。相似比を考えるようにしましょう。
4 3番の類題です。三角形が1個増えただけです。
5 「A型の相似の面積比」と「底辺比と面積比は等しい」を組み合わせた問題です。
6 直角を利用して角度に印を付けて、相似ということを確認します。
7 3つの相似があります。全体の三角形の3辺の比が分かるので、それを使って、辺の長さを求めたい三角形に丸数字を書き入れます。
8 横に倒れていますが、X型の相似です。相似比を使って、斜線の三角形の高さを求めます。
9 X型の相似を利用して、高さの比を求めて、実際の高さを求めます。
10 X型の相似を利用して、全体の半分の直角三角形から、三角形をひきます。
11 底辺を決めてX型の相似比を求めます。それを利用して、全体の高さを決めます。
12 A型の三角形と、長方形に分けます。A型の相似を利用して内部の線が分かったら、公式通りに求められます。
13 上か右の三角形に3辺の比を丸数字で書き入れ、正方形を利用して解きます。
14 13番の類題です。上か右の三角形に3辺の比を丸数字で書き入れ、長方形を利用して解きます。
15 補助線をひいて三角形をつくります。斜めの線の長さは変えないという意識が大切です。
16 15番よりもやや複雑な図形ですが、解き方はまるで一緒です。
17 影の斜め線が2本あるので、三角形を2つつくりましょう。相似なので、すぐに3辺の比を書き入れましょう。

※難度は以下の基準です。
A:確実に解けるようにしたい問題
B:サピックス偏差値50以上を目指す人向けの問題
C:サピックス偏差値60以上を目指す人向けの問題
D:特に難しい問題

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